Геометрия пәні бойынша 7 сынып оқушысының өзіндік жұмысының жоспары

I тоқсан

Сабақтың номері: 3

Сабақтың тақырыбы: Аксиома. Теорема

Мақсаты: 1. Аксиоманың теоремадан айырмашылығын білу;

2. Теореманың шарты мен қорытындысын ажырату;

3. Нүкте, түзу мен кесінді және жарты жазықтыққа байланысты аксиомаларды білу.

Конспект

Аксиома (көне грекше: ἀξίωμα — лайықты қабылданған қағида) — нанымдылығы ақиқат (шындық) болғандықтан логикалық дәлелдеусіз алынатын қағида; теорияның ақиқат (шындық) ең бастапқы қағидасы. “Аксиома” термині Ертедегі Грекияда пайда болған. Ол алғаш рет Аристотельдің (біздің заманымыздан бұрын 384 — 322 жылдары) еңбектерінде кездеседі. Ал Евклид (біздің заманымыздан бұрын III ғасырда) аксиомалық жүйені пайдалана отырып өзінің басты еңбегі — “Негіздерді” жазды.

Қандайда бір қасиетіне сүйене шығарған тұжырымдаманы дәлелдеме дейміз.

Дәлелденген қасиеттерді теорема дейміз.

Математикалық теорияның негізі болып табылатын аксиомалар жүйесі де аксиомалар сияқты үнемі өзгертіліп әрі жетілдіріліп отырады. Аксиомалар жүйесіне оның қайшылықсыздығы, тәуелсіздігі және толықтығы сияқты негізгі талаптар қойылады. Аксиомалық тәсілдер геометрияда, арифметикада, ықтималдықтар теориясында тағы басқа салаларда кеңінен қолданылады.

Мысалы:

1. Қандай түзуді алсақ та, ол түзуге тиісті нүктелер де, оған тиісті      емес нүктелер де бар болады.

2. Kез келген екі нүкте арқылы бір ғана түзу жүргізуге болады.

1 аксиома

а) Қандай түзу болмасын, ол түзуде жататын нүктелер де, жатпайтын нүктелер де болады.
ә) Кез келген екі нүкте арқылы тек бір түзу ғана жүргізуге болады.

A және B нүктелері a түзуінде жатады, яғни тиісті, ал C нүктесі a түзуінде жатпайды, яғни тиісті емес.

Түзуді екі нүкте арқылы да белгілеуге болады. Мысалы, a түзуін AB деп те белгілеуге болады.

Егер екі түзудің тек бір ғана ортақ нүктесі бар болса, онда бұл түзулер қиылысады.

a және b түзулері O нүктесінде қиылысады, былай жазылады: a ∩ b = O.

2 аксиома

Түзу бойындағы үш нүктенің тек біреуі ғана қалған екеуінің арасында жатады.

Суретте а түзуі мен осы түзу бойынан А, В және С нүктелері берілген. Мұнда В нүктесі А және С нүктелерінің арасында жатыр, яғни а түзуінің бойында В нүктесі А мен С нүктелерін бөліп тұр. Бұл жағдайда А және С нүктелері В нүктесінің екі жағында жатады  деп немесе В және С  нүктелері А нүктесінің бір жағында жатады деп, немесе В және С нүктелері А нүктесімен бөлінбейді деп те айтады.

3 аксиома

а) Әрбір кесіндінің нөлден үлкен ұзындығы бар.
ә) Кесіндінің ұзындығы оның әрбір нүктесі мен бөліктерінің қосындысына тең.

Кесіндінің ұзындығы бар болады. Бұл ұзындықты арнайы өлшеу құралдармен өлшей аламыз. Мысалы сызғыштың көмегімен:

Суреттегі AB кесіндінің ұзындығы 9 сантиметрге тең.

АВ кесіндісі кез келген С нүктесімен екі бөлікке бөлінгенде, АВ кесіндісінің ұзындығы АС және СВ кесінділерінің ұзындықтарының қосындысына тең дегенді білдіреді. Мысалы, АВ=10см, АС=6см, СВ=4см,яғни АВ=АС+СВ болатынын көреміз.

АВ кесіндісінің ұзындығын А және В нүктелерінің арақашықтығы деп те атайды.

4 аксиома

Түзу жазықтықты екі жарты жазықтыққа бөледі.

Әрбір түзу жазықтықты екі бөлікке бөледі. Суретте а түзуі жпзықтықты екі жарты жазықтыққа бөліп тұр. Жазықтықтың бұлайша бөліктенуінің мынадай қасиеттері бар: егер кесіндінің ұштары бір жарты жазықтықта жатса, онда кесінді а түзуін қиып өтпейді, ал а кесіндінің ұштары әртүрлі жарты жазықтықтарда жатса, онда кесінді а түзуін қиып өтеді.

Суретте А және В нүктелері а түзуімен бөлінетін бір жарты жазықтықта орналасқан. Сондықтан АВ кесіндісі а түзуін қиып өтпейді. С және D нүктелері әртүрлі жарты жазықтықтарда жатқандықтан, CD кесіндісі а түзуін қиып өтеді.

Жазықтықтағы түзу мен нүктелердің өзара орналасуының негізгі қасиетін 4-аксиома айқындайды.

Мысал: А, В, С нүктелері бір түзудің бойында жатады және АВ=6,8 см, АС=3,4см, ВС=3,8см екені белгілі, А нүктесі В мен С нүктелерінің арасында жатуы мүмкін бе? В нүктесі А мен С нүктелерінің арасында жатуы мүмкін бе? А, В, С нүктелерінің қайсысы қалған екеуінің арасында жатады?

Шешуі: Егер А нүктесі В мен С нүктелерінің арасында жататын болса, онла III аксиома бойынша АВ+АС=ВС болуы қажет. Бірақ 6,8+3,43,8. Олай болса, A нүктесі В мен С нүктелерінің арасында жата алмайды.

Егер В нүктесі А мен С нүктелерінің арасында жатса, онда АВ+ВС=АС теңдігі орындалуы керек. 6,8+3,83,4 болғандықтан, В нүктесі де А мен С нүктелерінің арасында жатпайды.

II аксиома бойынша түзу бойындағы үш нүктенің біреуі ғана қалған екеуінің арасында жатады. Олай болса, С нүктесі А мен В нүктелерінің арасында жатыр.

Тапсырма:

1.      АВ сәулесінде С нүктесін белгілеңіз. Егер:

а) АВ=1,5 см, АС=0,3 м;

ә) АВ=2 см, АС=4,4 м болса, ВС кесіндісінің ұзындығын табыңыз.

2.      А, В, С нүктелері бір түзудің бойында жатады. Егер АС=3 см, ВС=5 см болса, онда В нүктесі АС кесіндісіне тиісті ме? Жауабын түсіндіріңіз.

3.      CD кесіндісінің ортасынан О нүктесі белгіленген.

Егер а) СО=28 см болса, онда CD-ны;

ә) СD=56 см болса, онда OD-ны табыңыз.

Әзірлеушілер : Шалхарова Б.,Ахметқызы Т., №178 лицейдің математика пәні мұғалімдері. Алматы қаласы Білім басқармасының Қалалық білім берудегі жаңа технологиялардың ғылыми-әдістемелік орталығының қолдауымен ұсынылып отыр.